一、单项选择题

1、(2分)下列 C++ 数据类型中，能够精确存储 $10^{18}+1$ 这个整数的是（ ）。

{{ select(1) }}

• float
• long long
• double
• int

---

2、(2分)十六进制数 2F5 转换为八进制数是（ ）。

{{ select(2) }}

• 1364
• 1635
• 1405
• 1365

---

3、(2分)执行下列 C++ 代码，输出是（ ）。

int a = 7, b = 3;
std::cout << a / b * b + a % b;

{{ select(3) }}

• 9
• 10
• 7
• 6

---

4、(2分)初始时栈为空，将 1、2、3、4 依次入栈，入栈过程中允许随时出栈。下列出栈序列中不可能出现的是（ ）。

{{ select(4) }}

• 2，4，3，1
• 1，2，3，4
• 3，1，2，4
• 1，4，3，2

---

5、(2分)一棵有 100 个结点的完全二叉树，其叶子结点个数是（ ）。

{{ select(5) }}

• 49
• 50
• 64
• 51

---

6、(2分)执行下列代码后 s 的值是（ ）。

int s = 0;
for (int i = 1; i <= 100; i++)
    if (i % 3 == 0 || i % 5 == 0)
        s += i;

{{ select(6) }}

• 3048
• 2733
• 2318
• 2418

---

7、(2分)上楼梯每步可上 1 级、2 级或 3 级，从地面（可视为第 0 级）走到第 8 级台阶共有多少种不同走法（ ）。

{{ select(7) }}

• 44
• 121
• 149
• 81

---

8、(2分)下图为 5 × 5 网格，行号、列号均从 0 开始，# 为障碍，. 为可通行格：

     列0  列1  列2  列3  列4
行0   S    .    .    #    .
行1   .    .    .    #    .
行2   .    .    .    #    .
行3   #    #    .    .    E
行4   .    .    .    #    .

从 S 出发做广度优先搜索（BFS）：初始时把 S 入队；每次取出队首格子，按“上、下、左、右”（上＝行号减 1，下＝行号加 1，左＝列号减 1，右＝列号加 1）的顺序遍历它的四个相邻格子，越界、障碍或已访问的格子跳过，其余格子标记为已访问并入队。当 E 第一次入队时，已经入队过的格子（含 S 和 E）共有多少个（ ）。

{{ select(8) }}

• 15
• 12
• 14
• 13

---

9、(2分)满足 $1 \le n \le 100$ 且 $\gcd(n, 60) = 6$ 的正整数 n 共有多少个（ ）。

{{ select(9) }}

• 8
• 6
• 4
• 5

---

10、(2分)某国硬币面值为 1 元、4 元、6 元且数量不限，凑出 9 元最少需要多少枚（ ）。

{{ select(10) }}

• 3
• 4
• 5
• 2

---

11、(2分)执行下列代码，输出是（ ）。

int a[5] = {1, 3, 5, 7, 9};
int *p = a + 2;
*(p - 1) = p[0] + p[2];
p[1] = *(a + 1) - a[0];
cout << a[1] << "," << a[3];

{{ select(11) }}

• 14,13
• 8,13
• 14,7
• 14,2

---

12、(2分)在含 1000 个互不相同元素的升序数组中，用二分法查找给定值（返回元素位置或报告不存在），最坏情况下需要与数组元素比较多少次（ ）。

{{ select(12) }}

• 500
• 9
• 11
• 10

---

13、(2分)数组 a[1..n] 的前缀和数组 s（即 $s[i] = a[1] + a[2] + \cdots + a[i]$）满足 $s[i] = 3i^2 + i$。则 a[10] 的值是（ ）。

{{ select(13) }}

• 252
• 310
• 58
• 61

---

14、(2分)数轴上有 7 个点，坐标分别为 1、3、4、7、10、15、20。在数轴上选取一个整数坐标点 P，使 P 到这 7 个点的距离之和最小，这个最小距离和是（ ）。

{{ select(14) }}

• 37
• 42
• 40
• 38

---

15、(2分)一个无向图有 10 个顶点，其中 4 个顶点的度为 3，其余顶点的度均为 4，则该图的边数是（ ）。

{{ select(15) }}

• 36
• 18
• 17
• 20

---

二、阅读程序

程序输入不超过数组或字符串定义的范围；判断题正确填√，错误填×。除特殊说明外，判断题 1.5 分，选择题 3 分，共计 40 分。

1、(13分) 阅读以下程序并回答问题：

 1 #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3 int main() {
 4     int n;
 5     cin >> n;
 6     int x = 1, y = 1;
 7     while (n > 0) {
 8         if (n % 2 == 0) {
 9             ++x;
10         } else {
11             ++x;
12             ++y;
13         }
14         n = n / 2;
15     }
16     cout << x << ' ' << y << endl;
17     return 0;
18 }

以下问题均假定输入的 n 为不超过 $2^{31}-1$ 的非负整数。

16、(1分)当输入为 3 时，程序输出为 3 3。

{{ select(16) }}

• 正确
• 错误

---

17、(1.5分)将第 11 行的 ++x; 删除后，程序输出的两个数一定相等。

{{ select(17) }}

• 正确
• 错误

---

18、(1.5分)假设输入为非负整数，则程序输出的第一个数一定不小于第二个数。

{{ select(18) }}

• 正确
• 错误

---

19、(3分)将第 7 行的 while (n > 0) 改为 while (n >= 0) 后，程序可能出现的问题是（ ）。

{{ select(19) }}

• 陷入死循环
• 输出结果比原来大
• 输出结果比原来小
• 输出结果不受影响

---

20、(3分)当输入为 6 时，输出为（ ）。

{{ select(20) }}

• 3 3
• 4 2
• 4 3
• 5 2

---

21、(3分)若输入 n 依次取遍 $0, 1, 2, \ldots, 2^{31}-1$ 中的所有整数，则程序输出的第二个数恰好为 2 的次数为（ ）。

{{ select(21) }}

• 16
• 30
• 31
• 32

---

2、(13.5分) 阅读以下程序并回答问题：

 1 #include <algorithm>
 2 #include <iostream>
 3 #include <string>
 4 using namespace std;
 5 int a[100007], b[100007], c[100007], carry[100007];
 6 string input_str;
 7 int a_len, b_len;
 8 int main() {
 9     cin >> input_str;
10     a_len = input_str.size();
11     for (int i = 0; i < a_len; i++) {
12         a[i] = input_str[a_len - i - 1] - '0';
13     }
14     cin >> input_str;
15     b_len = input_str.size();
16     for (int i = 0; i < b_len; i++) {
17         b[i] = input_str[b_len - i - 1] - '0';
18     }
19     carry[0] = 0;
20     for (int i = 0; i < max(a_len, b_len) + 1; i++) {
21         c[i] = a[i] + b[i] + carry[i];
22         if (c[i] >= 10) {
23             carry[i + 1] = 1;
24             c[i] -= 10;
25         } else {
26             carry[i + 1] = 0;
27         }
28     }
29     for (int i = max(a_len, b_len); i >= 0; i--) {
30         cout << c[i];
31     }
32     cout << endl;
33     return 0;
34 }

本题输入的两个数均为非负整数，位数不超过 100000，可能包含前导零。

22、(1.5分)当输入为 123 456 时，程序输出为 0579。

{{ select(22) }}

• 正确
• 错误

---

23、(1.5分)假设输入的两个数均不含前导零，则程序输出的结果也一定不会含有前导零。

{{ select(23) }}

• 正确
• 错误

---

24、(1.5分)将第 21 行改为 c[i] = a[i] + b[i]; 后，程序输出的结果一定比原来的结果小。

{{ select(24) }}

• 正确
• 错误

---

25、(3分)当输入为 12345 678 时，输出为（ ）。

{{ select(25) }}

• 012923
• 013023
• 13023
• 130230

---

26、(3分)将第 22 行的 if (c[i] >= 10) 改为 if (c[i] > 10) 后，当输入为 95 15 时，输出为（ ）。

{{ select(26) }}

• 01010
• 110
• 140
• 1410

---

27、(3分)假设输入的两个数均为 n 位正整数（不含前导零），且它们的和小于 $10^n$，则程序输出的字符串一定满足（ ）。

{{ select(27) }}

• 第一个字符一定不为 '0'
• 长度一定为 n
• 长度一定为 n + 1，且第一个字符为 '0'
• 长度可能为 n + 2

---

3、(13.5分) 阅读以下程序并回答问题：

 1 #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3 bool check_prime(int x) {
 4     if (x <= 1) return false;
 5     for (int i = 2; i * i <= x; i++) {
 6         if (x % i == 0) return false;
 7     }
 8     return true;
 9 }
10 int n;
11 void search_result(int x) {
12     if (!check_prime(x)) return;
13     if (x >= n) {
14         cout << x << endl;
15         return;
16     }
17     for (int i = 0; i <= 9; i++) {
18         search_result(x * 10 + i);
19     }
20 }
21 int main() {
22     cin >> n;
23     for (int i = 1; i <= 9; i++) search_result(i);
24     return 0;
25 }

28、(1.5分)当输入为 10 时，程序的输出共有 10 行。

{{ select(28) }}

• 正确
• 错误

---

29、(1.5分)若输入的 n 不大于 5，则程序的输出中一定包含 5。

{{ select(29) }}

• 正确
• 错误

---

30、(1.5分)若输入的 n 大于 10，将第 17 行的 for (int i = 0; i <= 9; i++) 改为 for (int i = 1; i <= 9; i += 2) 后，程序的输出结果一定不变。

{{ select(30) }}

• 正确
• 错误

---

31、(3分)当输入为 24 时，程序输出的第 3 行为（ ）。

{{ select(31) }}

• 23
• 29
• 31
• 239

---

32、(3分)下列关于该程序输出的说法中，正确的是（ ）。

{{ select(32) }}

• 输出的数一定按照从小到大的顺序排列
• 随着输入 n 的增大，输出的行数一定不会增加
• 输出的数的个位数字只能是 3 或 7
• 输出的每个大于等于 10 的数，十进制下删去它的末位数字后得到的数一定是质数

---

33、(3分)当输入为 200 时，程序输出的行数为（ ）。

{{ select(33) }}

• 12
• 13
• 14
• 15

---

三、完善程序

单选题，每小题 3 分，共计 30 分。

1、(15分) 进制减半

给定 n，m，再给定一个 $m \times n$ 进制下的数 A，其各个数位上的数按照从高位到低位的顺序给出，请你将其转化为 n 进制，并同样按照从高位到低位的顺序输出。

输入的第一行依次为 n、m 和 A 的位数 d，接下来 d 个数 $a_d, a_{d-1}, \ldots, a_1$ 从高位到低位描述各个数位上的数。

数据满足 $2 \le n, m \le 10$，$1 \le d \le 18$，$0 \le A < 2^{63}$，对于所有 $1 \le i \le d$，$0 \le a_i < mn$。以下程序按“逐位除以 n”的方法完成进制转换。请补全程序。

 1 #include <iostream>
 2
 3 constexpr int N = 100005;
 4 long long b[N];
 5
 6 int main() {
 7     long long n, m, d;
 8     std::cin >> n >> m >> d;
 9     int len = 1;
10     for (int i = 0; i < d; i++) {
11         long long x;
12         std::cin >> x;
13         for (int j = len; j >= 1; j--)
14             b[j] = ___①___;
15         b[0] = ___②___;
16         len++;
17         for (int j = 0; j < len; j++)
18             if (b[j] >= n) {
19                 b[j + 1] += ___③___;
20                 b[j] = ___④___;
21                 if (j + 1 == len) len++;
22             }
23     }
24     while (___⑤___) len--;
25     for (int i = len - 1; i >= 0; i--)
26         std::cout << b[i] << ' ';
27     return 0;
28 }

34、(3分)①处应填（ ）。

{{ select(34) }}

• b[j] * n
• b[j] * m
• b[j - 1] * n
• b[j - 1] * m

---

35、(3分)②处应填（ ）。

{{ select(35) }}

• x * n
• x
• 0
• m

---

36、(3分)③处应填（ ）。

{{ select(36) }}

• b[j] / m
• b[j] % n
• b[j] % m
• b[j] / n

---

37、(3分)④处应填（ ）。

{{ select(37) }}

• b[j] / m
• b[j] % n
• b[j] % m
• b[j] / n

---

38、(3分)⑤处应填（ ）。

{{ select(38) }}

• len > 0 && b[len - 1] == 0
• len > 0 && b[0] == 0
• len > 1 && b[len - 1] == 0
• len > 1 && b[0] == 0

---

2、(15分) 平衡分割

给定一个长度为 n 的字符串，其中每个字符都是一个十六进制数位。例如，字符串 016A 表示十进制下的四个数 0、1、6、10。

现在请选择 k 个（k 是你选定的数）切分位置 $p_1, p_2, \ldots, p_k$，其中 $1 \le k < n$，且 $1 \le p_1 < p_2 < \cdots < p_k < n$。再令 $p_0 = 0$，$p_{k+1} = n$。

对于每个 $0 \le i \le k$，计算第 $p_i + 1$ 个数到第 $p_{i+1}$ 个数的平均值，记作 $b_i$。你的目标是使 $b_0, b_1, \ldots, b_k$ 中最大值与最小值之差尽可能小，并输出这个最小值。

其中 $2 \le n \le 20$。输入字符串中的字符只可能是 0～9 或 A～F。本题假定字符采用 ASCII 编码。输出答案时保留小数点后 6 位。

以下程序通过递归枚举所有可能的连续分段方案。请补全程序。

 1 #include <algorithm>
 2 #include <iomanip>
 3 #include <iostream>
 4
 5 using namespace std;
 6
 7 constexpr int N = 25;
 8 int n;
 9 char s[N];
10 double ans = 1e100;
11
12 int get_val(char c) { return ___①___; }
13
14 void split(int l, int cnt, double minb, double maxb) {
15     if (l > n) {
16         if (cnt == 0) return;
17         ans = min(ans, maxb - minb);
18         return;
19     }
20     int sum = 0;
21     for (___②___) {
22         sum += ___③___;
23         double nwb = ___④___;
24         split(___⑤___);
25     }
26 }
27
28 int main() {
29     cin >> n >> s + 1;
30     split(1, -1, 1e100, -1e100);
31     cout << fixed << setprecision(6) << ans;
32     return 0;
33 }

39、(3分)①处应填（ ）。

{{ select(39) }}

• c <= '9' ? c - '0' : c - 'A' + 10
• c <= '9' ? c - '0' : c - 'A'
• c <= '9' ? c - '0' + 1 : c - 'A' + 10
• c <= '9' ? c - '0' : c - 'A' + 9

---

40、(3分)②处应填（ ）。

{{ select(40) }}

• int r = l; r <= n; r++
• int r = l; r < n; r++
• int r = 1; r <= n; r++
• int r = l; r++ < n

---

41、(3分)③处应填（ ）。

{{ select(41) }}

• get_val(s[r])
• get_val(s[r-1])
• s[r-1]
• s[r]

---

42、(3分)④处应填（ ）。

{{ select(42) }}

• sum/(r-l+1)
• 1.0*sum/(r-l+1)
• 1.0*sum/(r-l)
• sum*1.0/n

---

43、(3分)⑤处应填（ ）。

{{ select(43) }}

• r+1, cnt+1, min(minb,nwb), max(maxb,nwb)
• r, cnt+1, minb, maxb
• r+1, cnt, nwb, nwb
• r, cnt, min(minb,nwb), max(maxb,nwb)

---