一、单选题（每题 2 分，共 30 分）

第 1 题 假设一个算法时间复杂度的递推式是 $T(n) = 2T(n-1) + 1$（$n$ 为正整数），且 $T(0) = O(1)$，那么这个算法的时间复杂度是（ ）。

{{ select(1) }}

• $O(n)$
• $O(n \log n)$
• $O(n^2)$
• $O(2^n)$

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第 2 题 下面关于"唯一分解定理"和"素数筛法"的说法中，错误的是（ ）。

{{ select(2) }}

• 如果预处理出 $n$ 以内每个数的最小质因子，那么可以在 $O(\log n)$ 时间内完成任意一个不超过 $n$ 的整数的质因数分解。
• 线性筛（欧拉筛）能够保证每个合数只被其最小质因子筛掉一次，这一性质依赖于唯一分解定理。
• 唯一分解定理保证：若一个数未被任何不超过其平方根的质数筛去，则它一定是质数。
• 唯一分解定理是埃氏筛时间复杂度为 $O(n \log \log n)$ 的根本原因。

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第 3 题 若字符串 $A$ 与字符串 $B$ 的最长公共子序列（LCS）长度为 5，则（ ）。

{{ select(3) }}

• 它们的编辑距离为 5
• 它们至少有 5 个公共字符
• 它们最长公共子串长度为 5
• 它们一定长度相等

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第 4 题 对于一棵包含 $n$ 个顶点（$n \geq 2$）的树，其所有顶点的度数之和必定等于（ ）。

{{ select(4) }}

• $n - 1$
• $2n-2$
• $2n$
• $n^2$

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第 5 题 关于哈希表（Hash Table）在不考虑扩容且采用简单均匀哈希函数的前提下，下列说法中错误的是（ ）。

{{ select(5) }}

• 装载因子越大，发生冲突的概率通常越高
• 开放定址法在删除元素时实现相对复杂
• 链地址法在最坏情况下查找时间复杂度为 $O(n)$
• 查找哈希表的时间复杂度总是 $O(1)$

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第 6 题 在 Kruskal 算法中，会将边排序后按顺序扫描选取边加入最小生成树中，算法的本质思想是（ ）。

{{ select(6) }}

• 分治
• 贪心
• 动态规划
• 回溯

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第 7 题 下面程序的运行结果为（ ）。

#include <iostream>
#include <algorithm>

bool check(int n, int a[], int k, int dist) {
	int cnt = 1;
	int last = a[0];
    
	for (int i = 1; i < n; i++) {
		if (a[i] - last >= dist) {
			cnt++;
			last = a[i];
		}
	}
    
	return cnt >= k;
}

int solve(int n, int a[], int k) {
	std::sort(a, a + n);
    
	int l = 0;
	int r = a[n - 1] - a[0];
    
	while (l < r) {
		int mid = (l + r + 1) / 2;
        
		if (check(n, a, k, mid))
			l = mid;
		else
			r = mid - 1;
	}
    
	return l;
}

int main() {
	int a[] = {1, 2, 8, 4, 9};
	int n = 5;
	int k = 3;
    
	std::cout << solve(n, a, k) << std::endl;
    
	return 0;
}

{{ select(7) }}

• 2
• 3
• 4
• 5

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第 8 题 下面程序的时间复杂度是（ ），假设数组的值域范围是 $D$。

#include <iostream>
#include <algorithm>

bool check(int n, int a[], int k, int dist) {
    int cnt = 1;
    int last = a[0];
    
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        if (a[i] - last >= dist) {
            cnt++;
            last = a[i];
        }
    }
    
    return cnt >= k;
}

int solve(int n, int a[], int k) {
    std::sort(a, a + n);
    
    int l = 0;
    int r = a[n - 1] - a[0];
    
    while (l < r) {
        int mid = (l + r + 1) / 2;
        
        if (check(n, a, k, mid))
            l = mid;
        else
            r = mid - 1;
    }
    
    return l;
}

int main() {
    int a[] = {1, 2, 8, 4, 9};
    int n = 5;
    int k = 3;
    
    std::cout << solve(n, a, k) << std::endl;
    
    return 0;
}

{{ select(8) }}

• $O(n \log n + n \log D)$
• $O(n \log n \log D)$
• $O(n \log n)$
• $O(n \log D)$

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第 9 题 某二叉树共有10个结点，记为A~J，已知它的先序遍历序列为：A B D H I E C F J G，中序遍历序列为：H D I B E A F J C G，则该二叉树的后序遍历序列是（ ）。

{{ select(9) }}

• H I D E B J F G C A
• H I D B E J F G C A
• I H D E B J F G C A
• H I D E B F J G C A

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第 10 题 下面哪一个可能是下图的深度优先遍历序列（ ）。

{{ select(10) }}

• 1, 5, 4, 8, 7, 9, 6, 3, 2
• 1, 5, 8, 4, 7, 9, 6, 3, 2
• 2, 5, 8, 7, 9, 6, 3, 4, 1
• 8, 9, 6, 3, 2, 5, 1, 4, 7

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第 11 题 下面这个有向图的强连通分量的个数是（ ）。

{{ select(11) }}

• 3
• 4
• 5
• 6

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第 12 题 关于泛洪算法（Flood Fill）的说法，正确的是（ ）。

{{ select(12) }}

• 泛洪算法只适用于二维网格中的四连通或八连通问题。
• 泛洪算法必须使用递归方式实现。
• 泛洪算法本质上是对图进行一次从起点出发的搜索。
• 泛洪算法只能用于统计连通块个数，不能用于计算面积或周长。

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第 13 题 有6个字符，它们出现的次数分别为：{2, 3, 3, 4, 6, 8}，现在用哈夫曼编码为这些字符编码，最小加权路径长度WPL（每个字符的出现次数 $\times$ 它的编码长度，再把每个字符结果加起来）的值为（ ）。

{{ select(13) }}

• 58
• 60
• 62
• 64

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第 14 题 关于单链表、双链表和循环链表，下列说法正确的是（ ）。

{{ select(14) }}

• 在单链表中，若已知某结点的指针，则可以在 $O(1)$ 时间内删除该结点。
• 循环链表中一定不存在空指针。
• 在循环双链表中，尾结点的 next 指针一定为 NULL。
• 在带头结点的循环单链表中，判定链表是否为空只需判断头结点的 next 是否指向自身。

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第 15 题 下列关于树的遍历的说法中，正确的一项是（ ）。

{{ select(15) }}

• 对任意一棵树进行深度优先遍历，所得序列一定唯一。
• 已知一棵二叉树的先序遍历和后序遍历序列，可以唯一确定这棵二叉树。
• 已知一棵二叉树的先序遍历和中序遍历序列，可以唯一确定这棵二叉树。
• 一棵二叉树的中序遍历序列是单调递增的，则该二叉树一定是二叉平衡树。

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